___高考数学
93年全国高校招生数学统考试题
(理工农医类)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。把所选项前的字母填在题
后括号内。
(1)如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么该双曲线的离心率为:
(A)
/2 (B)
/2 (C)3/2 (D)2
(2)函数
的最小正周期是:
(A)π/4 (B)π/2 (C)π (D)2π
(3)当圆锥的侧面积和底面积的比值是
时,圆锥的轴截面顶角是:
(A)45° (B)60° (C)90° (D)120°
(4)当z=-[(1-i)/
]时,z100+z50+1的值等于:
(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i
(5)直线bx+ay=ab(a<0。b<0)的倾斜角是
(A)arctg(-b/a) (B)arctg(-a/b) (C)π-arctg(-b/a) (D)π-arctg(a/b)
(6)在直角三角形中两锐角为A和B。则sinAsinB
(A)有最大值1/2和最小值0 (B)有最大值1/2但无最小值
(C)既无最大值也无最小值 (D)有最大值1。但无最小值
(7)在各项均为正数的等比数列{an}中。若a5a6=9。则log3a1+log3a2+…+log3a10=
(A)12 (B)10 (C)8 (D)2+log35
(8)F(x)=[1+2/(2x-1)]f(x)(x≠0)是偶函数,且f(x)不恒等于零,则f(x)
(A)是奇函数 (B)是偶函数
(C)可能是奇函数也可能是偶函数 (D)不是奇函数也不是偶函数
(9)曲线的参数方程为
(0≤t≤5),则曲线是:
(A)线段 (B)双曲线的一支 (C)圆弧 (D)射线
(10)若a、b是任意实数,且a>b,则:
(A)a2>b2 (B)b/a<1 (C)lg(a-b)>0 (D)(1/2)a<(1/2)b
(11)已知集合E={θ│cosθ<sinθ。0≤θ≤2π}。F={θ│tgθ<sinθ}。那么E∩F为区间:
(A)(π/2。π) (B)(π/4。3π/4) (C)(π。3π/2) (D)(3π/4。5π/4)
(12)一动圆与两圆:x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切。则动圆圆心的轨迹为:
(A)抛物线 (B)圆 (C)双曲线的一支 (D)椭圆
(13)若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是:
(A)三棱锥 (B)四棱锥 (C)五棱锥 (D)六棱锥
(14)如果圆柱轴截面的周长l为定值。那么圆柱体积的最大值是:
(A)(l/6)3π (B)(l/3)3π (C)(l/4)3π (D)(1/4)(l/4)3π
(15)由(
x+3
)100展开的得的x多项式中,系数为有理数的共有:
(A)50项 (B)17项 (C)16项 (D)15项
(16)设a。b。c都是正数。且3a=4b=6c。那么
(A)1/c=1/a+1/b (B)2/c=2/a+1/b (C)1/c=2/a+2/b (D)2/c=1/a+2/b
(17)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来。然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡。则四张贺年
卡不同的分配方式有
(A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)23种
(18)已知异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一定点,则过点P且与a,b所成的角都是30°的直线
有且仅有
(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
二、填空题:把答案填在题中横线上。
(19)抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴,若AB的长为4
,则焦点AB的距离为________。
(20)在半径为30m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面
顶角为120°。若要光源恰好照亮整个广场,则其高度应为______m(精确到0.1m)。
(21)在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共___种(用数字作答)。
(22)建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元
和80元,那么水池的最低总造价为________元。
(23)设f(x)=4x-2x+1,则f-1(0)=________。
(24)已知等差数列(an)的公差d>0,首项a1>0,
则
=____________。
三、解答题:解答应写出文字说明、演算步骤。
(25)解不等式2+log1/2(5-x)+log21/x>0。
(26)如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作l。

(Ⅰ)判定直线A1C1和l的位置关系,并加以证明;
(Ⅱ)若A1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求顶点到直线l的距离。
(27)在面积为1的△PMN中,tgM=1/2,tgN=-2,建立适当的坐标系,求出以M,N为焦点且过点P的椭
圆方程。

(28)设复数z=cosθ+isinθ(0<θ<π),
,已知|ω|=
/3,argω=π/2,求θ。
(29)已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α,β。证明:
(Ⅰ)如果│α│<2,│β│<2,那么2│α│<4+b且│b│<4;
(Ⅱ)如果2│α│<4+b且│b│<4,那么│α│<2,│β│<2。
1993年试题(理工农医类)答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。
(1)C (2)B (3)C (4)D (5)C (6)B (7)B (8)A (9)A
(10)D (11)A (12)C (13)D (14)A (15)B (16)B (17)B (18)B
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。
(19)2 (20)17.3 (21)4186
三、解答题。
(25)本小题考查对数函数的概念及性质,不等式的解法。
解:原不等式等价于:
, 解得:
所以原不等式的解集为:{x|0<x<1}∪{x|4<x<5}。
(26)本小题主要考查空间图形的线面关系、三棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力。
解:(Ⅰ)l∥A1C1。证明如下:
根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面ABC平行。
由题设知直线A1C1=平面A1B1C1∩平面A1BC1,直线l=平面A1BC1∩平面ABC。
根据两平面平行的性质定理有l∥A1C1。

(Ⅱ)解法一:
过点A1作A1E⊥l于E,则A1E的长为点A1到l的距离。
连结AE。由直棱柱的定义知A1A⊥平面ABC。
∴直线AE是直线A1E在平面ABC上的射影。
又l在平面ABC上,根据三垂线定理的逆定理有:AE⊥l。
由棱柱的定义知A1C1∥AC,又l∥A1C1,
∵l∥AC。
作BD⊥AC于D,则BD是Rt△ABC斜边AC上的高,且BD=AE,
从而AE=BD=(AB×BC)/AC=(4×3)/5=12/5,
在Rt△A1AE中,
∵A1A=1,∠A1AE=90°,
∴A1E=
=(12/5)2+12=13/5,
故A1到直线的距离为13/5。
解法二:
同解法一得l∥AC。
由平行直线的性质定理知∠CAB=∠ABE,从而有Rt△ABC∽Rt△BEA,AE:BC=AB:AC,
∴AE=(AB×BC)/AC,
以下同解法一。
(27)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用的能力。
解法一:建立直角坐标系如图:以MN所在直线为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴。

设所求椭圆方程为x2/a2+y2/b2=1,分别计M、N、P点的坐标为(-c,0)、(c,0)和(x0,y0)。
∵tgα=tg(π-∠N)=2,
∴由题设知
解得
即P((5/3)c,(4/3)c)
解法二:
同解法一得c=
/2,即P(5
/6,2
/3),
∵点P在椭圆上,且a2=b2+c2,
∴
解得b2=3,或b2=-1/3(舍去)。
a2=b2+c2=15/4
故所求椭圆方程为4x2/15+y2/3=1。
(28)本小题考查复数的基本概念和运算,三角函数式的恒等变形及综合解题能力。
解:
|ω|=|tg2θ|·|sin4θ+icos4θ|=|tg2θ|=
/3。
因0<θ<π,故有
(Ⅰ)tg2θ=
/3时,得θ=π/12或θ=7π/12,这时都有
ω=
/3(cosπ/6+isinπ/6),
得argω=π/6<π/2,适合题意。
(Ⅱ)当tg2θ=-
/3时,得θ=5π/12或θ=11π/12,这时都有
ω=
/3(cos11π/6+isin11π/6),
得argω=11π/6>π/2,有合题意,舍去。
综合(Ⅰ)、(Ⅱ)可知θ=π/12或θ=7π/12。
(29)本小题考查一元二次方程根与系数的关系,绝对值不等式的性质和证明;逻辑推理能力和分析
问题、解决问题的能力。
证法一:
依题设,二次方程有两个实根α,β,所以判别式△=a2-4b≥0。
不妨取α=1/2(-a-
),β==1/2(-a+
)
(Ⅰ)∵ α<2,β<2。
∴b=|αβ|=|α|·|β|<4
且-2<1/2(-a-
)<1/2(-a+
)<2
0≤
<4-a,0≤
<4+a
平方得 a2-4b<16-8a+a2,a2-4b<16+8a+a2,
由此得 -4(4+b)<8a<4(4+b),
∴2│a│<4+b。
(Ⅱ)∵2│a│<4+b,│b│<4,
∴|a|=1/2(4+|b|)<4
4±a>0;
且 △=a2-4b<a2-4(2│a│-4)
=a2±8a+16=(4±a)2,
又 △≥0,
∴
<4±a
得-4<-a-
≤-a+
<4,
∴ -2<α≤β<2,
得 │α│<2,│β│<2。
证法二:
(Ⅰ)根据韦达定理│b│=│αβ│<4。
因为二次函数f(x)=x2+ax+b开口向上,│α│<2,│β│<2。
故必有f(±2)>0,
即4+2a+b>0,2a>-(4+b);
4-2a+b>0,2a<4+b。
∴2│a│<4+b。
(Ⅱ)由2│a│<4+b得4+2a+b>0即22+2a+b>0,f(2)>0。 ①
及4-2a+b>0即(-2)2+(-2)a+b>0,f(-2)>0。 ②
由此可知f(x)=0的每个实根或者在区间(-2,2)之内或者在(-2,2)之外。若两根α,β均
落在(-2,2)之外,则与│b│=│αβ│<4矛盾。
若α(或β)落在(-2,2)外,则由于│b│=│αβ│<4,另一个根β(或α)必须落在(-2,
2)内,则与①、②式矛盾。
综上所述α,β均落在(-2,2)内。
∴│α│<2,│β│<2。