93年全国高校招生数学统一考试题（文）
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.
(1)如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么该双曲线的离心率为：( )
(A) (B) (C)3/2 (D)2
(2)函数y＝(1－tg22x)/(1＋tg22x)的最小正周期是：( )
(A)π/4 (B)π/2 (C)π (D)2π
(3)当圆锥的侧面积和底面积的比值是 时，圆锥的轴截面顶角是：( )
(A)45° (B)60° (C)90° (D)120°
(4)当z＝(1＋i)/2时，z100＋z50＋1的值是：( )
(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i
(5)若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是：( )
(A)三棱锥 (B)四棱锥
(C)五棱锥 (D)六棱锥
(6)在直角三角形中两锐角为A和B,则sinAsinB：( )
(A)有最大值1/2和最小值0
(B)有最大值1/2,但无最小值
(C)既无最大值也无最小值
(D)有最大值1,但无最小值
(7)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a5a6=9,则log3a1+log3a2+…+log3a10的值为：( )
(A)12 (B)10 (C)8 (D)2+log35
(8)当F(x)＝[1＋2/(2x－1)]f(x) (x≠0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)：( )
(A)是奇函数
(B)是偶函数
(C)可能是奇函数也可能是偶函数
(D)不是奇函数也不是偶函数
(9)设直线2x－y－ ＝0与y轴的义点为P，把圆(x＋1)2＋y2＝25的直径分为两段,则其长度之比为：( )
(A)7/3或3/7 (B)7/4或4/7
(C)7/5或5/7 (D)7/6或6/7
(10)若a、b是任意实数,且a>b,则：( )
(A)a2＞b2 (B)b/a＜1
(C)lg(a－b)＞0 (D)(1/2)a＜(1/2)b
(11)已知集合E={θ│cosθ<sinθ,0≤θ≤2π},F={θ│tgθ<sinθ},那么E∩F为区间：( )
(A)(π/2，π) (B)(π/4，3π/4)
(C)(π，3π/2) (D)(3π/4，5π/4)
(12)一动圆与两圆:x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为：( )
(A)抛物线 (B)圆
(C)双曲线的一支 (D)椭圆
(13)若直线ax+by+c=0在第一、二、三象限,则：( )
(A)ab>0，bc>0 (B)ab>0，bc<0
(C)ab<0，bc>0 (D)ab<0，bc<0
(14)如果圆柱轴截面的周长L为定值,那么圆柱体积的最大值是：( )
(A)(L/6)3π (B)(L/3)3π (C)(L/4)3π (D)[(L/4)3π]/4
(15)展开所得的x多项式中，系数为有理数的共有：( )
(A)50项 (B)17项 (C)16项 (D)15项
(16)设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,那么：( )
(A)1/c＝1/a＋1/b (B)2/c＝2/a＋1/b
(C)1/c＝2/a＋2/b (D)2/c＝1/a＋2/b
(17)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分
配方式有：( )
(A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)23种
(18)在正方体A1B1C1D1-ABCD中,M、N分别为棱A1A和B1B的中点(如图).若θ为直线CM与D1N所成的角,则sinθ
的值为：( )
(A)1/9 (B)2/3 (C) (D)
二、填空题:把答案填在题中横线上.
(19)抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴,若AB的长为 ，则焦点到AB的距离为________。
(20)在半径为30 m
的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为
120°。若要光源恰好照亮整个广场,则其高度应为________m(精确到0.1m)。
(21)在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共______种(用数字作答)。
(22)建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那
么水池的最低总造价为______元。
(23)设f(x)=4x-2x+1,则f-1(0)=________。
(24)设a＞1，则 __________。
三、解答题:解答应写出文字说明、演算步骤.
(25)解方程lg(x2+4x-26)-lg(x-3)=1。
(26)已知数列(8×2)/(12×32)，(8×2)/(32×52)，(8×n)/[(2n－1)2×(2n＋1)2]，……Sn为其前n项和。计算
得S1＝8/9，S2＝24/25，S3＝48/49，S4＝80/81，观察上述结果,推测出计算Sn的公式，并用数学归纳
法加以证明。
(27)如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作l.
(Ⅰ)判定直线A1C1和l的位置关系,并加以证明;
(Ⅱ)若A1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求顶点A1到直线l的距离.
(28)在面积为l的△PMN中tgM＝1/2，tgN＝－2，建立适当的坐标系，求出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程.
(29)设复数z＝cosθ＋isinθ (0＜θ＜π) ，argω＜π/2，求θ。
1993年试题(文史类)答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.
(1)C (2)B (3)C (4)D (5)D (6)B
(7)B (8)A (9)A (10)D (11)A (12)C
(13)D (14)A (15)B (16)B (17)B (18)D
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.
(19)2 (20)17.3 (21)4186
(22)1760 (23)1 (24)-1
三、解答题.
(25)本小题考查对数方程的解法及运算能力.
解:原方程可化为：
解得： x1＝3－ ；x2＝3＋
检验x1＝3－时，x－3＝－＜0；负数的对数没有意义，
所以x＝3－不是原方程的根，
x＝3＋时，原方程的左边＝lg10－lg＝lg10＝1＝右边
所以原方程的根是：x＝3＋
(26)本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法.
解Sn＝[(2n＋1)2－1]/(2n＋1)2 (n∈N)
证明如下:
(Ⅰ)当n＝1时，S１＝[32－1]/32＝8/9，等式成立。
(Ⅱ)设当n=k时等式成立,即
由此可知,当n=k+1时等式也成立.
根据(Ⅰ)、(Ⅱ)可知,等式对任何n∈N都成立.
(27)本小题主要考查空间图形的线面关系、三棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力.
解:(Ⅰ)l∥A1C1.证明如下:
根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面ABC平行.
由题设知直线A1C1=平面A1B1C1∩平面A1BC1,直线l=平面A1BC1∩平面ABC.
根据两平面平行的性质定理有l∥A1C1.
(Ⅱ)解法一:
过点A1作A1E⊥L于E,则A1E的长为点A1到l的距离.
连结AE.由直棱柱的定义知A1A⊥平面ABC.
∴ 直线AE是直线A1E在平面ABC上的射影.
又 l在平面ABC上,根据三垂线定理的逆定理有：
AE⊥l.
由棱柱的定义知A1C1∥AC,又l∥A1C1,
∴ l∥AC.
作BD⊥AC于D,则BD是Rt△ABC斜边AC上的高,且BD=AE,
从而AE＝BD＝(AE×BC)/AC＝(4×3)/5＝12/5
在Rt△A1AE中,
∵ A1A=1，∠A1AE=90°,
∴
故点A1到直线 l 的距离为13/5。
解法二:
同解法一得l∥AC.
由平行直线的性质定理知∠CAB=∠ABE，
从而有Rt△ABC∽Rt△BEA，AE:BC=AB:AC，
∴AE＝(BC×AB)/AC
以下同解法一。
(28)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用的能力.
解法一:建立直角坐标系如图:以MN所在直线为x轴,MN的垂直平分线为y轴。
设椭圆方程为：x2/a2＋y2/b2＝1
分别记M、N、P点的坐标为(-c,0)、(c,0)和(x0,y0).
∵ tgα=tg(π-∠N)=2,
∴ 由题设知
在△MNP中，MN＝2c，MN上的高为4c/3
∴ 
∴a＝(│PM│+│PN│)/2＝
从而 b2=a2-c2=3.
解法二:
同解法一得：
∵ 点P在椭圆上,且a2=b2+c2.
解得b2＝3 或 b2＝-1/3(舍去)
a2=b2＋c2=15/4.
故所求椭圆的方程为：4x2/15＋y2/3＝１
(29)本小题考查复数的基本概念和运算,三角函数式的恒等变形及综合解题能力.
解
因 0<θ<π,故有
当tg2θ＝－ 时，得θ＝5π/12或θ＝11π/12，这时都有：
ω＝[(cos11π/6)＋(isin11π/6)]，
得：argω＝(11π/6)＞π/2不适合题意，舍去，
综合(Ⅰ)、(Ⅱ)可知：θ＝π/12或θ＝7π/12
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