一、选择题（本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分，在每小题给

出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合I=｛0，-1，-2，-3，-4｝，集合M=｛0，-1，-2，｝，N=｛0，-3，-4，｝，

　　A．｛0｝　　　　　B．｛-3，-4｝　　　　C．｛-1，-2｝　　　　　D．φ

2．函数y=1/(x+1)的图像是：

3．函数y=4sin(3x+/4)+3cose(3x+π/4)的最小正周期是：

　　A．6π　　　　　　　B．2π　　　　　　C．2π/3　　　　　　　 D．π/3

4．正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是：

　　A．πa²/3　　　　　 B．πa²/2　　　　 C．2πa²　　　　　　　 D．3πa²

5．若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则

　　A．k1＜k2＜k3　　　 B．k3＜k1＜k2　　 C．k3＜k2＜k1　　　　 D．k1＜k3＜k2

6．双曲线3x2-y2=3的渐近线方程是：

　　A．y=±3x　　　　　B．±x/3　　　　　 C．y=±x　　　　　 D．y=±(/3)x

7．使sinx≤cosx成立的x的一个变化区间是：

　　A．[-(3/4)π，π/4]　　　　　　　　　 B．[-π/2，π/2]

　　C．[-π/4，3π/4]　　　　　　　　　　 D．[0，π]

8．x2+y2-2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是：

　　A．相离　　　　　　B．外切　　　　　　C．相交　　　　　　　D．内切

9．已知θ是第三象限角，且sin⁴θ+cos⁴θ=5/9，那么sin²θ等于：

　　A．2/3　　　　　B．-2/3　　　　 C．2/3　　　　　　　 D．-2/3

10．如图ABCD－A₁B₁C₁D₁是正方体，B₁E₁＝D₁F₁＝A₁B₁/4，则BE₁与DF₁所成的角的余弦值是

　　A．15/17　　　　　B．1/2　　　　　　 C．8/17　　　　　　　D．/2

11．已知y=loga(2-x)是x的增函数，则a的取值范围是

　　A．(0，2)　　　　 B．(0，1)　　　　　C．(1，2)　　　　　　D．(2，+∞)

12．在(1-x3)(1+x)10的展开式中，x5的系数是

　　A．-297　　　　　 B．-252　　　　　　C．297　　　　　　　 D．207

13．已知直线l⊥平面α，直线m平面β，有下面四个命题，其中正确的两个命题是：

　　A．①与②　　　　 B．③与④　　　　　C．②与④　　　　　　D．①与③

14．等差数列｛an｝，｛bn｝的前n项和分别是Sn与Tn，若：

　　A．1　　　　　　　B．/3　　　　　 C．2/3　　　　　　　 D．4/9

15．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有：

　　A．24个　　　　　 B．30个　　　　　　C．40个　　　　　　　D．60个

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上）

16．方程log2(x+1)2+log4(x+1)=5的解是__________。

17．已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成角为π/3，则圆台的

　　体积与球体积之比为________。

18．函数y=cosx+cos(x+π/3)的最大值是________。

19．若直线l过抛物线y²=4(x+1)的焦点，并且与x轴垂直，则l被抛物线截得的线段长为________。

20．四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有________种

(用数字作答)。

三、解答题(本大题共6小题，共65分：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)

21．(本小题满分7分)解方程3x+2-32-x=80。

22．(本小题满分12分)设复数z=cosθ+isinθ，θ∈(π，2π)，求复数z2+z的模和辐角。

23．(本小题满分10分)设｛an｝是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明

。　　

24．(本小题满分12分)如图，ABCD是圆柱的轴截面，点E在底面的周长上，AF⊥DE，F是垂足。

　　(1)求证：AF⊥DB

　　(2)如果AB=a，圆柱与三棱锥D-ABE的体积比等于3π，求点E到截面ABCD的距离，

25．(本小题满分12分)某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼

养值提供政府补贴，设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当

8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q近似地满足关系：

　　P=1000(x+t-8)(x≥8，t≥0)，

　　，

当P=Q时的市场价格为市场平衡价格，

　　(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域：

　　(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少每千克多少元?

26．(本小题满分12分)已知椭圆x2/24+y2/16=1，直线l：x=12，P是l上一点，射线OP交椭圆于点R，

又点Q在OP上，且满足|OQ|·|OP|=|OR|²，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什

么曲线。

一、选择题(本题考查基本知识和基本运算)

1．B　　 2．D　　 3．C　　 4．B　　 5．D　　 6．C　　 7．A　　 8．C　　 9．A

10．A　　11．B　　12．D　　13．D　　14．C　　15．A

二、填空题(本题考查基本知识和基本运算)

16．3　　17．7/32　　　　18．　　　　　　19．4　　　　　　20．144

三、解答题

21．本小题主要考查指数方程的解法及运算能力，

　　解：设y=3x，则原方程可化为9y2-80y-9=0，

　　　　解得：y₁=9，y₂=-1/9

　　　　方程3^x=-1/9无解，

　　　　由3^x=9得x=2，所以原方程的解为x=2。

22．本小题主要考查复数的有关概念，三角公式及运算能力，

　　解：

　　　　∵θ∈(π，2x)

　　　　∴θ/2∈(π/2，π)

　　　　∴-2cos(θ/2)＞0

　　　　所以复数x²+z的模为-2cos(θ/2)，辐角(2k-1)π+3θ/2(k∈z)。

23．本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识以及逻辑推理能力，

　　证法一：设｛a_n｝的公比为q，由题设知a₁＞0，q＞0，

　　　　(1)当q=1时，S_n=na1，从而

　　　　Sn·S_n+2-S_2n+1=na₁(n+2)a₁-(n+1)²a²₁=-a²₁＜0。

　　　　由(1)和(2)得S_n·S_n+2＜S²_n+1。

　　　　根据对数函数的单调性，得log_0.5(S_n·S_n+2)＞log_0.5S_2n+1，

　　　　即。

　　证法二：设｛an｝的公比为q，由题设知a1＞0，q＞0，

　　　　∵S_n+1=a₁+qS_n，

　　　　　S_n+2=a₁+qS_n+1，

　　　　∴S_n·S_n+2-S_2n+1

　　　　　=S_n(a₁+qS_n+1)-(a₁+qS_n)S_n+1

　　　　　=a₁(S_n-S_n+1)

　　　　　=-a₁a_n+1＜0

　　　　即　S_n·S_n+2＜S²_n+1。

　　　　(以下同证法一)

24．本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力。

　　(1)证明：根据圆柱性质，DA⊥平面ABE，

　　　　∵EB平面ABE，

　　　　∴DA⊥EB，

　　　　∵AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，

　　　　∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得EB⊥平面DAE，

　　　　∵AF平面DAE，∴EB⊥AF，

　　　　又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得AF⊥平面DEB，

　　　　∵DB平面DEB，∴AF⊥DB。

　　(2)解：设点E到平面ABCD的距离为d，记AD=h，因圆柱轴截面ABCD是矩形，所以AD⊥AB。

　　　　由题设知　，即d=a/2。

25．本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力，以及函数的概念、方程和不等

式的解法等基础知识和方法，

　　解：(1)依题设有

　　　　化简得5x²+(8t-80)x+(4t²-64t+280)=0，

　　　　当判别式△=800-16t2≥0时，可得：

　　　　由△≥0，t≥0，8≤x≤14，得不等式组：

　　　　解不等式组①，得0≤t≤，不等式组②无解，故所求的函数关系式为

　　　　函数的定义域为[0，]。

　　　　(2)为使x≤10，应有，

　　　　化简得：t2+4t-5≥0，

　　　　解得t≥1或t≤-5，由于t≥0知t≥1，从而政府补贴至少为每千克1元。

26．本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法等解析几何

的基本思想和综合运用知识的能力。

　　解：设点P，Q，R的坐标分别为(12，yp)，(x，y)，(xR，yR)，由题设知

　　　　xR＞0，x＞0，

　　　　由点R在椭圆上及点O，Q，R共线，得方程组

　　　　　　解得　

　　　　由点O、Q、P共线，得y_p/12=y/x，即y_p=12y/x。　③

　　　　由题设|OQ|·|OP|=|OR|²得

　　　　将①、②、③式代入上式，整理得点Q的轨迹方程

　　　　(x-1)2+y2/(2/3)=1　　　　(x＞0)

　　　　所以点Q的轨迹是以(1，0)为中心，长、短半轴长分别为1和/2，且长轴在x轴上的椭圆、

　　　　去掉坐标圆点。