___高考数学___高考数学
1997年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）
第Ⅰ卷（选择题共65分）
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再
选涂其它答案,不能答在试题卷上.
3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.
一.选择题:本大题共15小题;第(1)—(10)题每小题4分,第(11)—(15)题每小题5分,共65分.在每小题给
出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设集合M=｛x│0≤x<2｝,集合N=｛x│x2-2x-3<0｝,集合M∩N=
(A)｛x│0≤x<1｝ (B)｛x│0≤x<2｝
(C)｛x│0≤x≤1｝ (D)｛x│0≤x≤2｝
(2)如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a=
(A)-3 (B)-6 (C)-3/2 (D)2/3
(A) (B) (C) (D)
(4)已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面都相等,且AB=AC=,则以BC为棱,以面BCD与面BCA为面的二面角
的大小是
(A)arocos(/3) (B)arccos(1/3) (C)π/2 (D)2π/3
(5)函数y=sin[(π/3)-2x]+cos2x的最小正周期是
(A)π/2 (B)π (C)2π (D)4π
(6)满足arccos(1-x)≥arccosx的x的取值范围是
(A)[-1,-1/2] (B)[-1/2,0] (C)[0,1/2] (D)[1/2,1]
(7)将y=2x的图象
(A)先向左平行移动1个单位 (B)先向右平行移动1个单位
(C)先向上平行移动1个单位 (D)先向下平行移动1个单位
再作关于直线y=x对称的图象,可得到函数y=log2(x+1)的图象.
(8)长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的表面积是
(A)20π (B)25
(10)函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为
(A)2 (B)6 (C)-1/4 (D)6
(12)圆台上、下底面积分别为π、4π,侧面积为6π,这个圆台的体积是
(A)2
(13)定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间［0,+∞)的图象与f(x)的图象重
合.设a>b>0,给出下列不等式:
①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b);
③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a),
其中成立的是
(A)①与④ (B)②与③ (C)①与③ (D)②与④
(A){x|0＜x＜2} (B){x|0＜x＜2.5}
(C){x|0＜x＜} (D){x|0＜x＜3}
(15)四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有
(A)150种 (B)147种 (C)144种 (D)141种
第Ⅱ卷 (非选择题共85分)
注意事项:
1.第Ⅱ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二.填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.
(19)已知m、l是直线,α、β是平面,给出下列命题:
①若l垂直于α内的两条相交直线,则l⊥α;
②若l平行于α,则l平行于α内的所有直线;
③若mα, l β,且l⊥m,则α⊥β;
④若l β,且l⊥α,则α⊥β;
⑤若mα, l β,且α∥β,则m∥l.
其中正确的命题的序号是___________.(注:把你认为正确的命题的序号都填上)
三.解答题:本大题共6小题;共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(20)(本小题满分10分)
应的点分别为P,Q.证明△OPQ是等腰直角三角形(其中O为原点).
(21)(本小题满分11分)
已知数列｛an｝,｛bn｝都是由正数组成的等比数列,公比分别为p,q,其中p>q,且p≠1,q≠1.
设cn=an+bn,sn为数列｛cn｝的前n项和.求
(22)(本小题满分12分)
甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时.已知汽车每小时的
运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,
比例系数为b;固定部分为a元.
(Ⅰ)全程运输成本把y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;
(Ⅱ)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?
(23)(本小题满分12分)
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点.
(Ⅰ)证明AD⊥D1F;
(Ⅱ)求AE与D1F所成的角;
(Ⅲ)证明面AED⊥面A1FD1;
(24)(本小题满分12分)
设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足
(Ⅰ)当x∈(0,x1)时,证明x<f(x)<x1;
.
(25)(本小题满分12分)
设圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1,在满足条件①、②的
所有圆中,求圆心到直线ι:x-2y=0的距离最小的圆的方程.
1997年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准
说明:
一.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法
与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,
可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解
答有较严重的错误,就不再给分.
三.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一.选择题:本题考查基本知识和基本运算.
第(1)-(10)题每小题4分,第(11)-(15)题每小题5分,满分65分.
(1)B (2)B (3)A (4)C (5)B
(6)D (7)D (8)C (9)B (10)B
(11)A (12)D (13)C (14)C (15)D
二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.
注:第(19)题多填、漏填和错填均给0分.
三.解答题
(20)本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识,考查运算能力和
逻辑推理能力.满分10分.
解法一：
-------2分
于是
-------5分
-------7分
由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角,故△OPQ为等腰直角三解形.----7分
解法二:
由此得OP⊥OQ,│OP│=│OQ│.
由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角,故△OPQ为等腰直角三角形.----10分
(21)本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识,考查逻辑推理能力和运算能力.
满分11分.
解:
--------3分
分两种情况讨论.
(Ⅰ)p>1.
=p. -------7分
(Ⅱ)p<1.
∵ 0<q<p<1,
-------11分
(22)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识,考查综合应用所学
数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,满分12分.
故所求函数及其定义域为
(Ⅱ)依题意知S,a,b,v都为正数,故有
因为c-v≥0,且a>bc2,故有
a-bcv≥a-bc2>0,
也即当v=c时,全程运输成本y最小.
(23)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,考查逻辑推理能力和空间
想象能力,满分12分.
解:(Ⅰ)∵AC1是正方体,
∴AD⊥面DC1.
又D1F面DC1,
∴AD⊥D1F. -------------2分
(Ⅱ)取AB中点G,连结A1G,FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,
所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F.
设A1G与AE相交于点H,则∠AHA1是AE与D1F所成的角,因为E是BB1的中点,所以Rt△A1AG≌Rt△ABE,
∠GA1A=∠GAH，从而
∠AHA1=90°,即直线AE与D1F所成角为直角. -------------5分
(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥D1F,由(Ⅱ)知AE⊥D1F,又AD∩AE=A,所以D1F⊥面AED.又因为D1F面A1FD1,所以面AED⊥面A1FD1. -------------7分
(Ⅳ)连结GE,GD1.
∵FG∥A1D1,
∴FG∥面A1ED1,
∵AA1=2,
(24)本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识,考查综合运用数学知识分析问题
和解决问题的能力.满分12分.
证明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)-x.因为x1,x2是方程f(x)-x=0的根,所以
F(x)=a(x-x1)(x-x2). ------------2分
当x∈(0,x1)时,由于x1<x2,得(x-x1)(x-x2)>0,又a>0,得
F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0,
即x<f(x). ------------4分
所以x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0.
得 x1-f(x)>0.
由此得f(x)<x1. ------------7分
(Ⅱ)依题意知
因为x1,x2是方程f(x)-x=0的根,即x1,x2是方程ax2+(b-1)x+c=0的根.
------------9分
.
因为ax2<1,所以
. ------------12分
(25)本小题主要考查轨迹的思想,求最小值的方法,考查综合运用知识建立曲线方程的能力.满分12分.
解法一:设圆的圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为│b│,│a│.
r2=2b2 ------------2分
又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有
r2=a2+1.
从而得2b2-a2=1. ------------5分
又点P(a,b)到直线x-2y=0的距离为
------------7分
所以 5d2=│a-2b│2
=a2+4b2-4ab
≥a2+4b2-2(a2+b2)
=2b2-a2=1,
当且仅当a=b时上式等号成立,此时5d2=1,从而d取得最小值. ------10分
由此有
解此方程组得
由于r2=2b2知于是,所求圆的方程是
(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2. -------------12分
解法二:同解法一得
∴
得①
将a2=2b2-1代入①式,整理得
②
把它看作b的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即
△=8(5d2-1)≥0,
得 5d2≥1.
将其代入②式得2b2±4b+2=0.解得b=±1.
将b=±1代入r2=2b2,得r2=2.由r2=a2+1得a=±1.
综上 a=±1,b=±1,r2=2.
由│a-2b│=1知a,b同号.
于是,所求圆的方程是
(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2. -------------12分
