1999年数学(文）高考试卷

___高考数学

1999年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(文史)

    
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页。第II卷3至8页。

共150分。考试时间120分钟。

第I卷（选择题共60分）

注意事项：

    l.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A或B）用铅笔涂

　　　写在答题卡上。

    2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

　　　干净后。再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

    3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

      参考公式：            正棱台、圆台的侧面积公式

      三角函数的积化和差公式

　　　sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2　　　cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 
  
 　　 cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2　　　sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2    
     
　　　正棱台、圆台的侧面积公式：

　　　S_台侧=(c'+c)L/2　　其中c'和c表示圆台的上下底面的周长，L表示斜高或母线长。

　　　台体的体积公式：其中s,s'分别表示上下底面积，h表示高。    
     
一. 选择题：本大题共14小题；第(1)—(1O)题每小题4分，第(11)—(14)题每小题5分，共60分

在每小题给出的四个选顶中，只有一顶是符合题目要求的。

（1）如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是

      （A）（M∩P〕∩S                   （B）（M∩P）∪S

      （C〕（M∩P）∩                  （D〕（M∩P）∪

（2）已知映射f：A→B，其中，集合A＝{-3，-2，-1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中

     元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素

     的个数是

      （A）4     　　　（B）5            （C）6          （D）7

（3）若函数y＝f（x）的反函数是y=g（x），f（a）=b，ab≠0，则g（b）等于

      （A）a     　　　（B）a^-1      　  （C）b          （D）b^-1

（4）函数f（x）＝Msin（ωx+ρ）（ω>0）在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=-M，f（b）=M，

     则函数g（x）=Mcos（ωx+ρ）在[a，b]上

      （A）是增函数                 　　 （B）是减函数

      （C）可以取得最大值M          　　 （D）可以取得最小值-M

（5）若f（x）sinx  是周期为∏的奇函数，则f（x）可以是

    （A）sinx    　　 　（B）cosx        （C）sin2x  　  　（D）cos2x

（6）曲线x²+y²+2x-2y=0关于

   （A）直线x=轴对称          　　　　　 （B）直线y=-x轴对称

   （C）点（-2，）中心对称     　　　 （D）点（-，0）中心对称

（7）若干毫升水倒人底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高为6cm，若将这些水倒

    人轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是

    （A）6cm      　 （B）6cm         （C）2cm 　　  （D）3cm

（8）若（2x＋）³＝a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³，则（a₀+a₂）²-（a₁+a₃）²的值为

    （A）-1     　　　 （B）l        　　（C） 0         （D）  2

（9）直线x＋y-2=O截圆x²+y²=4得的劣弧所对的圆心角为

    （A）   　　　　（B）　　　　　 （C）   　　　　（D）

（10）如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，

      EF∥AB，EF=3/2，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为

      （A）9/2        （B）5            （C）6          （D）15/2

（11）若sina＞tga＞ctga(-＜a＜)，则a∈

    （A）（-，-）  （B）（-，0）  （C）（0，）  （D）（，）

（12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的

    侧面积的比为1：2，那么R=

    （A）10       　　（B）15  　　　   （C）20    　　   （D）25

（13）给出下列曲线：

      ①4x+2y-1=0 ②x²+y²=3   ③x²/2+y²=1    ④x²/2-y²=1

      其中与直线r＝-2x-3有交点的所有曲线是

    （A）①③   　　  （B）②④ 　　 　 （C） ①②③  　　（D）②③④

（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装

    磁盘根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒则不同的选购方式共有

    （A）5种       　（B）6种    　　　 （C）7种     　　 （D）8种


第II卷（非选择题共90分）

注意事项：

    1．第II卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

    2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二，填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线

（15）设椭圆(x²/a²)+(y²/b²)＝1（a>b>0）的右焦点为F₁，右准线为l₁若过F₁且垂直于x轴的弦的长

   　 等于点F₁到l₁的距离,则椭圆的离心率是_______

（16) 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作

    　物生长。要求A、B两种作物的问隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有_____种(用数字作答)

（17）若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是__________

（18）α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：

        ①m⊥n      ②α⊥β        ③n⊥β     ④m⊥α

    　以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：

　　　______________________________________________________________________

三.解答题：本大题共6小题；共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

（19）（本小题满分10分）

　　　解方程-3lgx+4=0

（20）（本小题满分12分）

　　　数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a_n=5S_n-3（n∈N）求（a_l+a₃+…+a_2n-1）的值。

（21）（本小题满分12分）

　　　设复数z＝3cosθ+isinθ．求函数y=tg（θ－argz）（0<θ<）的最大值以及对应的θ值 （22）（本小题满分12分〕 　　　如图，已知正四棱柱ABCD—A_{1B₁C₁D₁，点E在棱D₁D上，截面EAC∥D₁B，且面EAC与底面ABCD所

　　　成的角为45°，AB=a

　　　（Ⅰ）求截画EAC的面积；

　　　（Ⅱ）求异面直线A₁B₁与AC之间的距离；

　　　（Ⅲ〕求三棱B₁—EAC的体积。

（23）（本小题满分14分）

　　　下图为一台冷轧机的示意图。冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步

　　　减薄后输出。

　　　　　　　　　　　　

（1）输入带钢的厚度为a，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过r₀，问冷轧机至少需

　　要安装多少对轧辊？

　　　

（Ⅱ）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm，若第k对轧辊有缺陷,

　　　每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为Lk，为了便于检

　　　修，请计算L₁、L₂、L₃并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）。}

轧辊序号	1	2	3	4
疵点间距Lk(单位：mm)				1600

（24）（本小题满分14分）

　　　如图，给出定点A（a，0）（a＞0，a≠1）和直线l：x＝-LB是直线l上的动点，∠BOA的

　　　角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。

1999年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题参考答案及评分标准(文史类)

数学试卷（全文）

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给了一种或几种解法供参考，如果考生的解法

与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难，

可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分解答应得分数的一半；如果后继部分的解

答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算。第（1）－第（10）题每小题4分，第（11）－（14）

题每小题5分，满分60分。

　　（1）C （2）A （3）A （4）C （5）B

　　（6）B （7）B （8）A （9）C （10）D

　　（11）B （12）D （13）D （14）C

二．填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分

　　（15）1/2

　　（16）12

　　（17）[9,+∞]

　　（18）m⊥a, n⊥β, a⊥β==>m⊥n 或m⊥n, m⊥a, m⊥β==>a⊥β

三．解答题

　　（19）本小题主要考查对数方程、无理方程的解法和运算能力。满分10分。

　　　解：设　(31gx-2)^1/2=y,　原方程化为

　　　　　　　y-y²+2=0. －－－－4分

　　　　　解得y=-1, y=2. －－－－6分

　　　　　因为 (31gx-2)^1/2≥0,　所以将y=-1舍去，

　　　　　由 (31gx-2)^1/2=2

　　　　　得 lgx=2,

　　　　　所以 x=100. －－－－9分

　　　　　经检验x=100为原方程的解．－－－－10分

　（20）本小题主要考查等比数列和数列极限等基础知识，满分12分。

　　解：由 Sn=a₁+a₂+…+a_n知

　　　　　　a_n=S_n-S_n-1(n≥2),

　　　　　　a₁=S₁,－－－－ 2分

　　　　由已知 a_n=5S_n-3 得

　　　　　　a_n-1=5S_n-1-3. －－－－4分

　　　　于是a_n-a_n-1=5(S_n-S_n-1)=5a_n,

　　　　所以a_n=-(a_n-1/4). －－－－6分

　　　　由 a₁=5S₁-3,

　　　　得 a₁=3/4.

　　　　所以，数列{a_n}是首项a₁=3/4，公比q=-1/4的等比数列．－－－－ 8分

　　　　由此知数列 a₁,a₃,a₅,…,a_2n-1,……是首项为 a₁=3/4, 公比为(-1/4)²的等比数列。

　　　　所以lim_n→∞(a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1)=(3/4)/[1-(-1/4)²]=4/5. 12分

　（21）本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基本知识，考查综合运用所学数学

　　　　知识解决问题的能力，满分12分。

　　解：由0<θ<π/2得tgθ>0.

　　　　由z＝3cosθ+isinθ得 tg(arg z)=sinθ/3cosθ=1/3tgθ. －－－－3分

　　　　故 y=tg(θ-arg z)

　　　　　　=(tgθ－1/3tgθ)/(1＋1/3tg²θ) －－－－6分

　　　　　　=2/[(3/tgθ)+tgθ］.

　　　　∵(3/tgθ)+tgθ≥2(3)^1/2,

　　　　∴2/[(3/tgθ)+tgθ］≤(3)^1/2/3. －－－－9分

　　　　当且仅当3/tgθ=tgθ(0<θ<π/2)时，即tgθ＝(3)^1/2时，上式取等号。

　　　　所以当θ＝π/3时，函数y取得最大值(3)^1/2／3。－－－－12分。

　（22）本小题主要考查空间线面关系，二面角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算

　　　　能力，满分12分。

　　　　（1）解：如图，连结DB交AC于O，连结EO。

　　　　∵底面ABCD是正方形

　　　　∴DO⊥AC。

　　　又∵ED⊥底面AC，

　　　　∴EO⊥AC。

　　　　∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角，－－－－2分

　　　　∴ ∠EOD＝45°。

　　　　DO＝(2)^1/2/2a, AC=(2)^1/2a, Eo=[(2)^1/2a·sec45°]/2=a.

　故 S_△EAC=(2)^1/2×a²/24分

　（II）解：由题设ABCD－A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，得A₁A⊥底面AC， A₁A⊥AC。

　　　　　　又 A₁A⊥A₁B₁，

　　　　　　∴A₁A是异面直线A₁B₁与AC间的公垂线。－－－－6分

　　　　　　∵D₁B∥面EAC，且面D₁BD与面EAC交线为EO，

　　　　　　∴ D₁B∥EO。

　　　　　　又 O是DB的中点，

　　　　　　∴E是D₁D的中点， D₁B＝2ED＝2a。

　　　　　　异面直线A₁B₁与AC间的距离为(2)^1/2a。－－－－8分

　(III)解法一：如图，连结D₁B₁。

　　　　　　　∵D₁D＝DB＝(2)^1/2a，

　　　　　　　∴BDD₁B₁是正方形。

　　　　　　　连结B₁D交D₁B于P，交EO于Q。

　　　　　　　∵B₁D⊥D₁B。 EO∥D₁B，

　　　　　　　∴B₁D⊥EO

　　　　　　　又 AC⊥EO， AC⊥ED，

　　　　　　　∴AC⊥面BDD₁B₁

　　　　　　　∴B₁D⊥AC

　　　　　　　∴B₁D⊥面EAC。

　　　　　　　∴B₁Q是三棱锥B₁－EAC的高。－－－－10分

　　　　　　　由DQ＝PQ，得B₁Q＝3B₁D/4＝3a/2。

　　　　　　　∴V_B1－EAC＝(1/3)·[(2)^1/2a²/2]·(3/20=(2)^1/2·a³/4.

　　　　　　　所以三棱锥了－EAC的体积是(2)^1/2·a³/4. －－－－12分

解法二：连结B₁O，则VB₁－EAC＝2VA－EOB₁。

　　∵AO⊥面BDD₁B₁，

　　∴AO是三棱锥A－EOB₁的高，AO＝(2)^1/2·a/2

　　在正方形BDD₁B₁中，E、O分别是D₁D、DB的中点（如右图），

　　则S_△EOB1=3a²/4.

　　∴VB₁-EAC=2×(1/30×(3a²/4)×[(2)^1/2a/2}=(2)^1/2·a³/4.

　　所以三棱锥B₁－EAC的体积是(2)^1/2·a³/4.－－－－12分。

（23）本小题主要考查等比数列，对数计算等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决实际问题

　　　的能力，满分14分。

　　（I）解：厚度为a的带钢经过减薄率均为ro的n对轧辊后厚度为a(1-ro)n.

　　　　　　为使出带钢的厚度不超过β，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足

　　　　　　a(1-r_o)ⁿ≤β，

　　　　　　即 (1-r_o)ⁿ≤β/a 　－－－－4分

　　　　　　由于(1-r_o)ⁿ>O, β/a>0,对上式两端取对数，得

　　　　　　nlg(l-r_o)≤lg(β/a).

　　　　　　由于lg(1-r_o)<0,

　　　　　　所以n≥(lgβ-lga)/[lg(1-r_o)].

　　　　　　因此，至少需要安装不小于(lgβ-lga)/[lg(1-r_o)]的整数对轧辊－－－－7分

　（II）解法一：第k对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢的体积为

　　　　　　　　1600a×(1-r)^k×宽度（其中r＝20％），

　　　　　　　　而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为

　　　　　　　　L_k×a(1-r)⁴×宽度。

　　　　　　　　因宽度相等，且无损耗，由体积相等得

　　　　　　　　1600·a(1-r)^k=L_k·a(1-k)⁴(r=20%),

　　　　　　　　即 L_k=1600·0.8^K-4. －－－－10分

　　　　　　　　由此得 l₃=2000(mm),

　　　　　　　　　　　 l₂=2500(mm),

　　　　　　　　　　　 l₁=3125mm)

　　　填表如下：

轧辊序号K	1	2	3	4
疵点间距LK（mm）	3125	2500	2000	1600

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　－－－－14分

解法二：第3对轧辊出口疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点

　　　　间带钢体积相等，因宽度不变，有：

　　　　1600=L₃·(1-0.2),

　　　　所以 L₃=1600/0.8=2000(mm). －－－－10分

　　　　同理 L₂=L₃/0.8=2500(mm).

　　　　　　 L₁=L₂/0.8=3125(mm).

　　　　填表如下：

轧辊序号K	1	2	3	4
疵点间距LK（mm）	3125	2500	2000	1600

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　－－－－14分

（24）本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合

　　　运用数学知识解决问题的能力。满分14分。

　　　解法一：依题意，记B（－1，b）（b∈R），则直线OA和OB的方程分别为y＝0和y＝－bx，

　　　　　　　设点C（x,y），则有0≤x<a,由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等，根据点到直线

　　　　　　　的距离公式得

　　　　　　　　　|y|=|y+bx|/ ① －－－－4分

　　　　　　　依题设，点C在直线AB上，故有

　　　　　　　　　y=[-b/(1+a)](x-a). －－－－6分

　　　　　　　由 x-a≠0，得b=-(1+a)y/(x-a). ②

　　　　　　　将②式代入①式得

　　　　　　　　　y²[1+(1+a)²y²/(x-a)²]=[y-(1+a)xy/x-a]²,

　　　　　　　　整理得

　　　　　　　　　y²[(1-a)x²-2ax+(1+a)y²]=0. －－－－9分

　　　　　　　若y≠0，则(1-a)x²-2as+(1+a)y²=0(0<x<a);

　　　　　　　若y=0,则 b=0,∠AOB＝π，点C的坐标为（0，0），满足上式，

　　　　　　　综上得点C的轨迹方程为

　　　　　　　　　(1-a)a²-2ax+(1+A)y²=0(0≠x<a), －－－－10分

　　　　　　　∵a≠1,

　　　　　　　∴[x-a/(1-a)]²/[a/(1-a)]²+y²/[a²/(1-a²)]=1(0≤x<a). ③ －－－－12分

　　　　　　　由此知，当〔」「工时，方程③ 表示椭圆孤段；

　　　　　　　当a>1时，方程③ 表示双曲线一支的弧段。－－－－14分

　　　解法二：如图，设D是l与x轴的交点，过点C作CE⊥x轴，E是垂足。

　　　　　　（1）当|BD|≠0时，设点C（x,y），则0<x<a y≠0.

　　　　　　　　由CE∥BD得 |BD|=|CE|·|DA|/|EA|=|y|/a-x(1+a). －－－－3分

　　　　　　　∵∠COA=∠COB=∠COD-∠BOD=π-∠COA-∠BOD,

　　　　　　　∴2∠COA=π-∠BOD，

　　　　　　　∵ tg(2COA)=2tg∠COA/(1-tg²∠COA), tg(π-∠BOD)=-tg∠BOD,

　　　　　　　　　tg∠COA=|y|/x, tg∠BOD = ∠|BD|/|OD|=|y|/a-x(1+a).

　　　　　　　∴[2·|y|/x]/[1-(y²/x²)]=[|y|/(a-x)](1+a),

　　　　　　　整理得 (1-a)x²-2ax+(1+a)y²=0(0<x<a).

　　　　　　(II) 当|BD|=0时，∠BOA＝π，则点C的坐标为（0，0），满足上式。

　　　　　　综合（I）（II），得点C的轨迹方程为

　　　　　　　　（1-a)x²-2ax+(1+a)y²=0(0≤x<a) －－－－10分

　　　　　　　以下同解法一。